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Manchmal bietet es sich an, von der Scheibe zur Kugel überzugehen Bekanntlich kann man eine Ebene mit periodischen Ornamenten gleichseitiger Vielecke ausfüllen: das geht mit Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken, welche eine drei-, vier- (bzw. zwei-) oder sechszählige Rotations-Symmetrie besitzen. Jedoch gelingt es nicht mit Fünfecken. Dies zeigte schon Johannes Kepler in seinem Werk "Harmonice mundi". Deswegen gibt es auch keine Kristalle (mit Translations-Symmetrie), in denen Fünfeck-Prismen regelmäßig nebeneinander angeordnet sind (wie z.B. sechseckige Prismen von Graphit-Basalebenen). Das heißt aber nicht, dass Fünfecke nur in der Mathematik existieren. Es gibt z.B. Quasikristalle, und in der belebten Natur kommt die fünfzählige Rotations-Symmetrie sogar relativ häufig vor. Betrachtet man rechts oben den missglückten Ansatz, eine Ebene mit Fünfecken zu füllen, so erkennt man darin bei eingehender Betrachtung das Faltschema für eine Dodekaeder-Hälfte! Das Ausfüllen einer Fläche mit Fünfecken gelingt also, wenn man sie etwas krümmt. Man nimmt keine flache Ebene - oder eine Kugeloberfläche mit unendlich großem Radius bzw. unendlich großem Flächeninhalt - sondern eine Kugeloberfläche mit endlichem Radius als Grundlage. Auf dieser werden die Eckpunkte von 12 Fünfecken, gleichmäßig verteilt, wobei in jedem Eckpunkt 3 Fünfecke zusammentreffen. Die Oberfläche des Dodekaeders ist ein unendliches Ornament aus gleichseitigen Fünfecken. Auf ähnliche Weise lassen sich alle Platonischen Körper konstruieren. In einem Platonischen Körper sind alle Ecken, Kanten und Flächen identisch. Und es gibt insgesamt nur 5 konvexe Platonische Körper. Jedoch sind auch in einer Ebene, welche mit gleichseitigen Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken ausgefüllt ist, alle Ecken, Kanten und Flächen identisch. Deswegen ist der Dodekaeder ein besonderer Körper, weil nur seine Oberfläche aus gleichseitigen Fünfecken besteht. Platon erkärte übrigens, dass Gott den "fünften Körper" (den Dodekaeder) für das Weltall verwendete, zu dem der Dodekaeder Ihm "als Muster dienen sollte". (Timaios, 55 St.) Die vier Platonischen Körper, welche Platon mit den vier Elementen verbindet, besitzen Dreiecks- oder Vierecksflächen. Mit jenen kann man, wie schon gesagt, eine Ebene ausfüllen. Nur der Dodekaeder besitzt eine Oberfläche aus Fünfecken, welche nur auf einer gekrümmten Fläche aneinanderpassen. Nach dem damaligen Weltbild hielt man das Weltall für eine Kugel, in deren Mittelpunkt die Erde steht. Hat Platon sich also geirrt? Oder, wenn man nun unter dem Weltall den gesamten Raum versteht, welcher alle materiellen Körper in eine Ordnung bringt, könnte dieser in sich gekrümmt sein wie eine Kugeloberfläche? Eine Kugeloberfläche ist genauso unendlich wie eine Ebene (denn sie hat kein Ende) - man könnte auch sagen, sie ist unbegrenzt - sie ist im Gegensatz zur Ebene aber endlich groß. Ein Mensch, der auf einer riesigen Kugel (oder einem Planeten) immer geradeaus geht, hat die Illusion, sich auf einer Ebene zu bewegen, wo er sich immer weiter vom Ausgangsort entfernt - nur, dass er irgendwann verwundert wieder an seinem Ausgangsort vorbeikommen kann. Dies ist für ihn aber eine reine Erfahrungstatsache, die lautet: wenn man immer geradeaus geht, kommt man nach einer bestimmten Anzahl von Schritten wieder am Ausgangspunkt an. Und so wird er sich sehr schnell daran gewöhnen. Eine in sich geschlossene Kugeloberfläche ist nicht nur in einer Dimension unendlich, sondern in zwei. Und so ähnlich kann man sich auch einen gleichmäßig gekrümmten dreidimensionalen Raum vorstellen: Wenn man einen Lichtstrahl durch den leeren Raum schicken würde, käme er irgendwann von hinten wieder an der Lichtquelle an - und zwar, egal in welche Richtung man ihn schicken würde. Und, in jede Ebene, die man in den Raum legen würde, könnte man eine Dodekaeder-Oberfläche zeichnen. Ein Wesen in vier Raumdimensionen würde unseren Raum als Hyperkugel-Oberfläche sehen. Und natürlich gäbe es innerhalb und außerhalb dieser "Kugelfläche" weitere dreidimensionale Räume - nämlich unsere Paralleluniversen. |
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